Cara Menggambar Grafik Fungsi Aljabar pada Bidang Kartesius, Menentukan Titik Potong, Daerah Asal Nilai Fungsi, Interval Fungsi Naik dan Turun, Titik Stasioner Belok

 
Di Kelas X, Anda telah mempelajari bagaimana menggambar grafik fungsi y = ax² + bx +c dengan langkah-langkah sebagai berikut.

1. Menentukan titik potong grafik y = ax² + bx +c dengan sumbu-x.
2. Menentukan titik potong grafik y = ax² + bx +c dengan sumbu-y.
3. Menentukan koordinat titik balik fungsi.
4. Menentukan persamaan sumbu simetri fungsi.

Langkah-langkah tersebut mudah dilakukan untuk menggambar fungsi parabola y = ax² + bx +c. Akan tetapi untuk fungsi yang lebih kompleks, Anda tidak menggunakan cara tersebut.

Sekarang, Anda akan mempelajari cara lain untuk menggambar grafik fungsi, yaitu dengan menggunakan turunan. Titik stasioner dan jenisnya adalah alat yang ampuh untuk menggambar grafik fungsi tersebut khususnya untuk mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan ciri-ciri grafik. Untuk memudahkan pengerjaan, berikut ini adalah langkah-langkah yang harus dilakukan.

Langkah 1: Menganalisis f(x)

a. Menentukan daerah asal fungsi f(x).

b. Menentukan daerah nilai fungsi pada ujung interval daerah asal.

c. Menentukan titik potong dengan sumbu koordinat.

• Titik potong dengan sumbu-x (diperoleh untuk y= 0 atau f(x) = 0).

• Titik potong dengan sumbu-y (diperoleh untuk x = 0 atau f (0)).

Langkah 2: Menganalisis f '(x)

a. Menentukan titik stasioner.

b. Menentukan interval di mana fungsi naik atau turun.

c. Menentukan titik balik maksimum dan minimum lokal (jika ada).

d. Menentukan titik belok fungsi.

Langkah 3: Membuat sketsa grafik

a. Menyajikan titik-titik yang diperoleh pada langkah 1 dan 2 pada bidang Cartesius.

b. Membuat sketsa grafik denganmenghubungkan titik-titik tersebut.

Contoh Soal 1 :

Buatlah sketsa grafik fungsi f(x) = x³ + 3x²

Pembahasan :

Langkah 1: Menganalisis f(x)

a. Fungsi f(x) = x³ + 3x² terdefinisi untuk semua bilangan real.

Jadi, daerah asal f(x) adalah {x | x ϵ R}.

b. Daerah nilai f(x) = {f(x) | f(x) ϵ R}.

c. Titik potong dengan sumbu koordinat.

• Titik potong dengan sumbu-y.

Titik potong dengan sumbu-y diperoleh untuk x = 0

f(x) = x³ + 3x²

f(0) = 0

Fungsi f(x) memotong sumbu-y di y = 0.

• Titik potong dengan sumbu-x.

Titik potong dengan sumbu-x diperoleh untuk y = 0.

f(x) = x³ + 3x²

y = f(x)

x³ + 3x² = 0

x² (x + 3) = 0

x = 0 atau x = –3

Fungsi f(x) memotong sumbu-x di x = 0 atau x = –3.

Langkah 2: Menganalisis f '(x)

f(x) = x³ + 3x²

f '(x) = 3x² + 6x

a. Titik stasioner diperoleh untuk f '(x) = 0.

f '(x) = 0 ↔ 3x² + 6x = 0

↔ 3x (x + 2) = 0 ↔ x = 0 atau x = –2

Titik stasioner diperoleh dengan menyubstitusikan x = 0 dan x = –2 pada fungsi f(x) = x³ + 3x² sehingga diperoleh :

f(0) = 0 dan f(–2) = 4

Jadi, (0, 0) dan (–2,4) adalah titik-titik stasioner.

b. Interval fungsi naik diperoleh jika f '(x) > 0 dan interval fungsi turun diperoleh jika f '(x) < 0. Interval-interval tersebut diperoleh dengan menentukan nilai-nilai x yang disubstitusikan pada fungsi f ‘(x). Substitusikan x = –3 untuk x < –2, x = –1 untuk –2 < x < 0 dan x = 1 untuk x > 0 pada fungsi  f '(x) = 3x2 + 6x sehingga diperoleh :

f '(–3) = 9 > 0, f '(–1) = –3

f '(1) = 9 > 0

yang dapat digambarkan sebagai diagram di bawah ini :

f '(x) f '(–3) = 9 f '(–1) = –3 f '(1) = 9

Dari diagram tanda tersebut diperoleh interval berikut.

• Interval fungsi naik pada x < –2 dan x > 0.

• Interval fungsi turun pada –2 < x < 0.

c. Titik balik maksimum dan minimum lokal dapat ditentukan dari diagram tanda.

• Pada x = –2, f(x) berubah dari fungsi naik menjadi fungsi turun sehingga x = –2 adalah titik balik maksimum lokal.

f(x) = x³ + 3x² ↔ f(–2) = 4

Titik (–2, 4) adalah titik balik maksimum lokal.

• Pada x = 0, f(x) berubah dari fungsi turun menjadi fungsi naik sehingga x = 0 adalah titik balik minimum lokal f(x) = x³ + 3x² ↔ f(0) = 0

Titik (0, 0) adalah titik balik minimum lokal.

Langkah 3: Membuat sketsa grafik

Hasil sketsa grafik tampak pada Gambar di bawah ini.

Anda sekarang sudah mengetahui Menggambar Grafik Fungsi Aljabar. 

Referensi :

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.